FUNDAMENTOS TEÓRICOS

 Como antecedentes se tiene que la transformada de Laplace se puede utilizar para el análisis de señales y sistemas en tiempo continuo. Un método operacional equivalente para el estudio de sistemas de ecuaciones deferenciales de tipo lineal discreto, es el método de la Transformada Z (TZ). Es decir que la TZ está basada en la serie de Laurent y tiene como objetivo, resolver problemas de señales y sistemas discretos Lineales Invariantes en el Tiempo (LIT).

De modo general la transformada Z se representa de la siguiente forma:

Se puede demostrar que para:

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral:

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral:

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como:

 

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo:

; es decir que converge "hacia afuera".

La ROC de una transformada X(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que X(z) es finita:

El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC. Por ello, las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna con su información de la ROC.

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Propiedades de la ROC.

• La Transformada X(z) junto con la ROC definen de forma inequívoca la secuencia x[n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la antitransformada.

• La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el plano Z, porque la convergencia sólo depende de .

• La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de X(z) sobre un polo produce divergencia.

• La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es todo el plano complejo, con algunas excepciones.

• La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal (con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia.

• La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia.

• La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal o estrictamente no causal) puede ser:

• Una corona circular (si radio parte causal menor que radio parte anticausal)

• No existir (si radio parte causal mayor que radio parte anticausal y no hay intersección)

Ejemplos

ANOTACIONES IMPORTANTES: 

𝑗 = √−1;        𝑗^2 = −1;        1/𝑗 = −j

𝑒^(𝜃𝑗) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 𝜃     ⟹     𝑒^(−𝜃𝑗) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑗 𝑆𝑒𝑛 𝜃

Si Sumamos: 𝑒^(𝜃𝑗) + 𝑒^(−𝜃𝑗) = 2 𝐶𝑜𝑠 𝜃     ⟺     𝐶𝑜𝑠 𝜃 = (1 /2)^(𝑒^(𝜃𝑗) + 𝑒^(−𝜃𝑗)) 

Si Restamos: 𝑒^(𝜃𝑗) − 𝑒^(−𝜃j) = 2𝑗 𝑆𝑒𝑛 𝜃     ⟺     𝑆𝑒𝑛 𝜃 = (1/2𝑗)^(𝑒^(𝜃𝑗) − 𝑒^(−𝜃𝑗))

Número Complejo: 𝑟 (𝑎 + 𝑏𝑗) = 𝑟 (𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗𝑆𝑒𝑛 𝜃) = 𝑟𝑒^(𝜃j)

𝑟 = √(𝑎^2 + 𝑏^2);         𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑏/𝑎 )

𝑒 ^(±𝜃𝑗) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 ± 𝑗 𝑆𝑒𝑛 𝜃